Lie 代數
Lie algebra
括弧積 (Lie bracket)
線形空閒$ \frak gに、以下を滿たす括弧積$ \lbrack\cdot,\cdot\rbrack:{\frak g}\times{\frak g}\to{\frak g}が定義されてゐるならば Lie 代數と言ふ $ \lbrack ax+by,z\rbrack=a\lbrack x,z\rbrack+b\lbrack y,z\rbrack
$ \lbrack x,ay+bz\rbrack=a\lbrack x,y\rbrack+b\lbrack x,z\rbrack
交代性 (複零性)$ \lbrack x,x\rbrack=0
反交換性 (歪對稱性)$ \lbrack x,y\rbrack=-\lbrack y,x\rbrack
Jacobi 恆等式$ \lbrack x,\lbrack y,z\rbrack\rbrack+\lbrack z,\lbrack x,y\rbrack\rbrack+\lbrack y,\lbrack z,x\rbrack\rbrack=0 括弧積の例
$ \lbrack x,y\rbrack:=xy-yx
$ D_x:y\mapsto\lbrack x,y\rbrackと定めて、Leibniz 則$ D_x(yz)=D_x(y)z+yD_x(z)つまり$ \lbrack x,yz\rbrack=\lbrack x,y\rbrack z+y\lbrack x,z\rbrackを滿たす $ \lbrack A,B\rbrack:=AB-BA
$ \{A,B\}:=\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}
Lie 代數$ \frak gに於いて、Leibniz 則$ D(\lbrack x,y\rbrack)=\lbrack D(x),y\rbrack+\lbrack x,D(y)\rbrackを滿たす寫像$ D:{\frak g}\to{\frak g}を「微分 (derivation。導分)」と呼ぶ abelsk 群$ (L,+,0,-)は、以下を滿たす括弧積$ \lbrack\cdot,\cdot\rbrack:L\times L\to Lが定義されてゐれば Lie 環と言ふ $ [x+y,z]=[x,z]+[y,z]
$ [x,y+z]=[x,y]+[x+z]
交代性 (複零性)$ \lbrack x,x\rbrack=0